Logo HŽ

Marek Žabka: Nebyť matematiky, dnešná hudba by bola iná

Mladšia generácia odchovancov bratislavskej muzikológie ho pozná ako pedagóga, ktorý priniesol na katedru nový vietor. Hoci sme vždy tajne pri vstupe do učebne potichu „zapípali“, predstierajúc, že máme pod kožou zabudovaný čip, ktorým tento matematik meria naše priebežné výsledky v jeho kurze a zobrazuje ich na začiatku hodiny v prehľadných grafoch, zároveň svojimi exoticky vyznievajúcimi hudobnými teóriami vzbudzoval rešpekt. Jeho pohľady na hudbu sa ukazovali čoraz fascinujúcejšie, inšpiratívnejšie a zrelšie. Úspešný muzikológ a matematik Marek Žabka je autorom monografie o matematike a hudbe, ako aj množstva štúdií publikovaných v slovenských aj zahraničných časopisoch. Pôsobí ako člen edičnej rady amerického časopisu Journal of Mathematics and Music, strávil rok na Netherlands Institute for Advanced Study ako štipendista programu EURIAS a prednášal v rámci Fulbrightovho programu na Yalovej univerzite.

Matematici a serializmus

Keď sa povie matematika a hudba, ľudia si väčšinou predstavia Pytagora, otázky spojené s ladením a podobné súvislosti. Už menej ľudí vie o tom, ako sa dá o tónovom materiáli alebo o kompozícii ako takej premýšľať matematicky. Ty sa týmto vzťahom venuješ už dlhý čas.

K prepojeniu matematiky a hudby som sa dostal vďaka tomu, že môj život ma viedol aj cez matematiku, aj cez hudbu. Študoval som oba tieto odbory a nejako som si ich dával do súvisu. Až po rokoch som zistil, že zhruba od päťdesiatych rokov 20. storočia existuje veľmi živý trend v americkej hudobnej teórii, ktorý sa aktívne snaží tieto oblasti prepájať. Začalo sa to dvoma smermi, respektíve dvoma osobnosťami. Jednou je pomerne známy hudobný skladateľ Milton Babbitt, ktorý spadá do povojnového obdobia americkej experimentálnej hudby porovnateľnej s európskou tradíciou Darmstadtskej školy, teda integrálny serializmus, a rôzne snahy ďalej prehlbovať a rozvíjať princípy, ktoré priniesol Schönberg. Vieme, že Schönbergova kompozícia je veľmi technokratická a asi nikto nepochybuje o tom, že sú v nej veci, ktoré sa dajú matematizovať. Keď si človek chce spočítať všetky rady s nejakou vlastnosťou, v podstate je to matematická úloha, a keď chce skladateľ tieto princípy rozšíriť aj na iné aspekty hudobnej kompozície, schováva to za sebou myslenie, ktoré je matematické. Babbitt teda vniesol matematického ducha do americkej hudobnej teórie a skladby, ale je to z pozície integrálneho serializmu. Musím sa priznať, že mňa to nikdy veľmi nelákalo, pretože hudba komponovaná dodekafonicky, serialisticky alebo integrálnym serializmom ma osobne nikdy hlboko nezaujala ako poslucháča.

Zrejme bola na teba až príliš matematická...

Áno, to je možné. (Smiech.) Nespochybňujem, že expresionizmus vyjadrený takýmito prostriedkami je zaujímavý, ale mňa to príliš neoslovovalo. Rozhodne je to však jeden z dôležitých zdrojov, keď sa pýtame, čo sa dnes deje medzi matematikou a hudbou. Po Babbittovi treba spomenúť ďalšieho teoretika, ktorý však nebol skladateľom: Allen Forte. Bol ovplyvnený Miltonom Babbittom a vymyslel spôsob, ako analyzovať ani nie tak seriálnu kompozíciu, v ktorej si skladateľ vopred premyslí svoje rady alebo série a potom s nimi pracuje, ale skôr sa chcel pozrieť na atonálnu kompozíciu. O nej obyčajne hovoríme najmä to, že je to hudba, ktorá porušuje všetky pravidlá. Väčšinou upozorňujeme na to, čo v nej nie je: tonálne centrum, známe akordy a pod. Allen Forte sa pokúsil vytvoriť taký spôsob analýzy atonálnej hudby, pomocou ktorej je možné formulovať, čo v danej kompozícii, naopak, prítomné je. Vytvoril komplexnú teóriu na popis atonálnej hudby, ktorá vychádza matematických pojmov a aj preto sa nazýva množinová teória (set theory). Na americkom kontinente je bežnou súčasťou výbavy hudobného teoretika, na vysokých školách sa učí aj niekoľko semestrov. Toto je teda jeden prúd v americkej hudobnej teórii, reprezentovaný Babbittom a Fortem a ich nasledovníkmi, ktorý používa matematické metódy, či už v oblasti seriálnej hudby, alebo analýzy atonálnej hudby.


Tónová sieť a elementárne kroky na nej.

 

Kompozícia ako tónová sieť

Atonalita a serializmus teda nie je celkom tvoja šálka kávy. Zaujímal si sa skôr o to, ako sa dá matematicky pozrieť na tonálnu hudbu.

Presne tak, alebo rozšírenú tonálnu hudbu. V tomto smere je zaujímavá iná postava: David Lewin. Bol to hudobný teoretik, ktorý mal tiež určité matematické pozadie. Pôsobil na Harvarde a ovplyvnil celú generáciu hudobných teoretikov. Dnešní americkí hudobní teoretici ho vnímajú ako duchovného otca celého jedného živého prúdu v hudobnej teórii, ktorý reprezentujú takzvané transformačné teórie (transformational theories).

Zaoberal sa obdobím tonálnej hudby ako celkom, alebo nejakým konkrétnym obdobím?

Jeho obľúbeným skladateľom bol Wagner a celkovo repertoár neskorého romantizmu, druhej polovice 19. storočia. V tomto repertoári už nevieme hudobné dianie vysvetľovať jednoduchou tonálnou harmóniou pomocou funkcií ako tonika, dominanta a podobne. U Wagnera, ale, samozrejme, už aj oveľa skôr, napríklad u Schuberta alebo iných romantických skladateľov, nachádzame chromatické úseky, o ktorých tiež len negatívne povieme, že ide napríklad o chromatické spojenie komplikovaných akordov, ktoré nevieme uspokojivo vysvetliť vo vzťahu k nejakému tonálnemu centru. David Lewin poskytuje prostriedky, ktorými sa dajú opísať.

Povedal si, že matematické princípy sa veľmi hodia v prípade atonálnej a seriálnej hudby, teraz sme v neskorom romantizme, ale zaujímalo by ma, či sa v teórii nejako redefinoval aj pohľad na klasickú tonálnu hudbu, na harmonickú analýzu, ako sme sa ju kedysi učili, a či aj sem vstúpila matematika.

Transformačné teórie sú v princípe rozšírením pôvodného teoretického modelu tonálneho systému, čiže v transformačnom pohľade je obsiahnuté aj to, čo vieme o dominante, tonike a podobne. Nové teórie umožňujú vysvetliť komplikované chromatické postupy, ale aj to, čo je pre nás bežné, tonálne zrozumiteľné.

Na opísanie transformačných teórií sa často používa jedna metafora, ktorú mám rád a rád ju opakujem: metafora kompozičného priestoru. Podľa tejto predstavy má skladateľ tvoriaci v určitom štýle alebo slohu k dispozícii potenciálny svet možností. Napríklad keď Schubert začne písať skladbu pre klavír, môžeme si predstaviť, že to je akoby sa ponoril do určitého sveta možností, ktoré sú pre neho relevantné a každá konkrétna skladba akoby bola trajektóriou alebo prechádzkou v tomto svete. Myslím si, že túto metaforu si všetci vieme predstaviť. Samozrejme, Schubertov kompozičný svet je iný ako svet Palestrinu alebo Wagnera. Transformační teoretici sa túto krásnu filozofickú metaforu snažia pochopiť typickým americkým, pragmatickým spôsobom. A konkretizujú ju tak, akoby tento kompozičný svet mal geometrickú povahu, a teda sa dá matematicky popísať.

Napríklad pre Schuberta je typické, že sa pohybuje v kvintakordoch. Väčšina jeho kompozícií sa dá vysvetliť ako postupnosti durových a molových kvintakordov, ktoré sú spájané novým spôsobom. Z C dur bežne prejde do E dur a odtiaľ bežne zas do As dur, čo nie je ľahko vysvetliteľné z hľadiska tonality – iba ako komplikované modulácie, ktoré nevieme dobre teoreticky uchopiť. No vždy je to založené na kvintakordoch. Tento kvintakordový kompozičný svet transformační teoretici opisujú pomocou tzv. tónovej siete, kde je každý kvintakord reprezentovaný trojuholníkom a celý kompozičný svet sa rozloží na trianguláciu roviny, teda rovinu rozdelenú na trojuholníčky orientované nadol alebo nahor (nadol durové a nahor molové). Trojuholníčky, ktoré sú blízko seba, sú si hudobne blízke a, naopak, tie, ktoré sú na sieti ďaleko, sú vzdialené aj hudobne. Táto tónová sieť je pre transformačných teoretikov kľúčovým modelom. Keď človek analyzuje Schuberta, môže si celú kompozíciu zaznamenať ako cestu cez tieto trojuholníčky. V triangulácii roviny môžu mať tieto jednotlivé rozličné cestičky nejaký smer a zistilo sa, že existujú v podstate tri základné smery a pomocou nich sa môžeme dostať z akéhokoľvek bodu do akéhokoľvek iného bodu, ako by sme navigovali loď na mape. Elementárne kroky v týchto troch smeroch sa nazývajú transformáciami. Napríklad z kvintakordu C dur sa tými troma smermi dá dostať do kvintakordu a mol, c mol a do e mol. Takže to je Schubertov svet. Ďalej sa títo teoretici snažia definovať aj ďalšie, komplikovanejšie svety vyjadrujúce iné kompozičné systémy.

Zaujali ma na tom dve veci. Prvou je, že koncept takejto siete mi umožňuje vidieť skladbu akoby zvrchu a celú naraz.

Áno, je to zachytenie mimo času, nečasový pohľad.

To je iný konceptuálny pohľad na hudbu, než na aký sme zvyknutí.Druhá vec je, že toto je pohľad čisto na vertikálne udalosti, hoci u Schuberta je veľmi dôležitá napríklad aj melódia.

To je pravda. Transformační teoretici sú zameraní primárne na harmóniu. Keď však ideme do neskorších období – to sú už oblasti, ktorými sa zaoberám – tak napríklad Wagnerov svet je komplikovanejší v tom, že základným bodom v jeho kompozičnom priestore nie je kvintakord, ale septakord, ktorý u neho predstavuje najelementárnejší harmonický útvar. Priestor, ktorý tak vznikne, už nie je rovinou, ale trojrozmerným priestorom, a to je zložitejšie. V chromatických pasážach u Chopina sa pohybujeme v podobne komplikovanom priestore. A keď človek ide ďalej, napríklad k Debussymu, ukazuje sa, že tým najelementárnejším útvarom v jeho svete nie je len trojzvuk, ani štvorzvuk, ale celý modus alebo stupnica, teda 6 – 8 tónov súčasne. Tam sa už pred nami otvára otázka, či ide o harmóniu alebo melódiu. Ak sa pozrieme na Debussyho Plachetnice, kde narába s celotónovou stupnicou, zisťujeme, že s ňou pracuje zároveň harmonicky aj melodicky, čiže tento útvar sa v jeho kompozičnom priestore pretavuje do melodicko-harmonických útvarov. Zaujímavé je, že podobne komplikovaný priestor nachádzame aj v niektorých chromatických pasážach u Mozarta.

Jeden dôležitý podprúd transformačných teórií sú tzv. novoriemanovci. Tí si dali na svoju vlajku meno významného nemeckého teoretika Huga Riemanna, od ktorého prebrali pohľad na harmonické vzťahy. Jeho koncepciu sa snažia formalizovať prostredníctvom transformačného jazyka. Takže áno, dá sa povedať, že toto uvažovanie je orientované predovšetkým harmonicky.

Sú títo teoretici zväčša aj matematikmi ako ty?

Medzi Amerikou a Európou je v tomto aspekte rozdiel, pretože v Amerike sa vďaka spomínaným kľúčovým osobnostiam – Babbitt, Forte a Lewin – stalo, že štandardné vzdelávanie na amerických univerzitách v odbore muzikológia obsahuje spravidla aj matematické kurzy. Keď som bol na Yale, tak tí chudáci ľudia, ktorí si robili magisterský titul z hudobnej teórie, museli absolvovať kurzy z matematickej algebry. Takže väčšina týchto teoretikov sú hudobníci, ktorým vyhovujú matematické metódy pri analýze hudby. V Európe je to naopak. Aj tu sú ľudia, ktorí sa zaoberajú prepojeniami medzi matematikou a hudbou, ale väčšinou prichádzajú z exaktno-vedného prostredia, teda matematici alebo iní exaktní vedci, ktorých láka hudba a snažia sa na ňu dívať jazykom a prostriedkami, ktoré sú im blízke.

Mne sa zdá, že je to trend v humanitných vedách aj vzhľadom na strach z hoaxov a podobných záležitostí, že môžeme pozorovať väčší príklon k exaktným vedám než v minulosti, a aj „soft“ vedy sa snažia nasať niečo z toho exaktného prostredia, aby sa obhájili ako relevantné.

Určite je tu aj tento aspekt, vidíme to aj na financovaní vedy v Európe aj na Slovensku. Je to tak, že exaktné vedy sú na tom lepšie ako vedy humanitné a platí, že použitie nejakých exaktných nálepiek môže dopomôcť napríklad ku grantom. To ale nie je môj motív.

Kepler Quartet - Ben Johnston - String Quartets Nos. 2-4 & 9

Viac v aktuálnom vydaní časopisu.




Aktualizované: 10. 08. 2018