Kvarteto vzniklo v roku 1975 počas štúdia jeho členov na Konzervatóriu v Bratislave pod vedením prof. Albína Vrteľa. Kvarteto - ešte pod názvom Muchovo (podľa mena svojho primária) - absolvovalo interpretačný kurz v Bayreuthe (1976, 1978) a vo Weimare (1980). Po absolutóriu Konzervatória pokračovali členovia kvarteta v štúdiu komornej hry na VŠMU pod vedením prof. Tibora Gašpareka a na Hochschule für Musik und darstellende Kunst vo Viedni u Franza Samohyla a Güntera Pichlera. Meno významného slovenského skladateľa Alexandra Moyzesa si dalo kvarteto do svojho názvu v roku 1981. Členovia Moyzesovho kvarteta sú absolventmi VŠMU v Bratislave.
Kvarteto získalo viacero ocenení a laureátske tituly a popredné umiestnenia na domácich a zahraničných súťažiach.
Teleso spolupracovalo s holandským kvartetom Gaudeamus, s prof. Usim Wieselom z Tel Avivu, prof. Rudolfom Nelom z Mníchova, kvartetom Melos z Nemecka, s členmi Amadeus kvarteta i s Janáčkovým kvartetom a od roku 1989 kvarteto pravidelne spolupracovalo s prof. Franzom Samohylom vo Viedni.
Cenné skúsenosti získavalo kvarteto umeleckou spoluprácou s poprednými domácimi sólistami a telesami (napr. s multiinštrumentalistom Jiřím Stivínom, klaviristami Mariánom Lapšanským a Mariánom Vargom, so súborom Cappella Istropolitana a mnohými ďalšími). Slovenskú hudobnú kultúru prezentovalo s úspechom takmer vo všetkých štátoch Európy, v Japonsku, Indii, Maroku, USA a na Kube.
Viaceré ocenenia získalo kvarteto aj za svoje nahrávacie aktivity, realizovalo niekoľko desiatok CD nahrávok a početné rozhlasové záznamy.
V rokoch 1986 – 2005 bolo Moyzesovo kvarteto profesionálnym súborom Slovenskej filharmónie, v roku 2006 komorným ansámblom mesta Modra a v priebehu roka 2008 sa stalo a v súčasnosti je komorným súborom mesta Skalica.
Od roku 2006 sa kvarteto pravidelne prezentuje vlatnými koncertnými cyklami - „Moyzes v Moyzeske“ (2006), „Bella v Moyzeske“ (2007), "Suchoň v Pálffyho paláci“ (2008), „Mendelssohn v Pálffyho paláci“ (2009), "Schumann v Pálfyho paláci" (2010), "Cikker v Pálfyho paláci" (2011), "Zeljenka v Pálfyho paláci" (2012), "Dvořák v Pálfyho paláci" (2013), "J. S. Bach v Pálfyho paláci" (2014), "Moyzesovo kvarteto v Pálfyho paláci" (2015), "Godár v Pálfyho paláci" (2016).
Po 40 rokoch účinkovania telesa v nezmenenom obsadení nastala od roku 2016 zmena na poste primária kvarteta, stal sa ním Jozef Horváth, koncertný majster Slovenskej filharmónie.
Na jubilejnom koncerte pri príležitosti 45. výročia vzniku súboru (v Koncertnej sieni Slovenskej filharmónie v októbri 2020) odzneli diela Johanna Nepomuka Hummela, Romana Bergera a Maurica Ravela.