Trávníčkovo kvarteto vzniklo v roku 1972 na Janáčkovej akadémii múzických umení v Brne z iniciatívy violistu Jana Juříka. Kvarteto nadviazalo na umelecké dielo Janáčkovho kvarteta (všetci členovia Trávníčkovho kvarteta boli v sólovej hre žiakmi členov Janáčkovho kvarteta, v komornej hre ich viedol sekundista Janáčkovho kvarteta doc. Adolf Sýkora); napokon aj názov súboru bol prejavom úcty k umeleckému odkazu predčasne zosnulého primária Janáčkovho kvarteta doc. Jiřího Trávníčka. Od vzniku kvarteta a počas jeho najúspešnejšej éry pôsobilo v zložení: Vladimír Kovář, primárius, Víťezslav Zavadilík, 2. husle, Jan Juřík, viola, Antonín Gál, violončelo. V rokoch 1988 - 1994 bol primáriom kvarteta Alexander Jablokov. Od roku 1977 pôsobilo Trávníčkovo kvarteto ako profesionálny súbor v Banskej Bystrici. Členovia kvarteta podľa vzoru svojich učiteľov hrali na koncertoch spamäti.
Už rok po svojom vzniku sa kvarteto stalo laureátom interpretačnej súťaže v Kroměříži, následne získavalo ďalšie ocenenia na domácich i zahraničných súťažiach. Koncertovalo takmer vo všetkých štátoch Európy, ale aj v Afrike, USA, Mexiku a Japonsku. Súbor spolupracoval so Slovenským rozhlasom a Slovenskou televíziou, realizoval početné nahrávky hudobných diel pre domáce a zahraničné hudobné vydavateľstvá.
Kvarteto spolupracovalo s viacerými domácimi a zahraničnými interpretmi a telesami (Marián Lapšanský, Ema Schmidt, Christian Elsas, Maria Morais, Valentína Kameníková, Jose Luis Lopategui, Rudolf Rokl, Ken Arra, Janáčkovo kvarteto a i.).
V roku 1994 teleso na istý čas prerušilo svoju umeleckú činnosť.
Neskôr kvarteto pracovalo pod umeleckým vedením jeho zakladateľa, violistu Jana Juříka (pedagóga a zakladateľa violovej triedy na Konzervatóriu Jána Levoslava Bellu a na Akadémii umení v Banskej Bystrici) a do svojho repertoáru zaraďovalo okrem klasickej komornej hudby aj diela z oblasti populárnej hudby, účinkujúc nielen na klasických koncertných pódiách, ale aj pri rôznych spoločenských udalostiach.